1
Números enteros y divisibilidad
8 ej.
1.
Ordena de menor a mayor: −8, 3, −1, 0, 5, −4
Resolución
1
Los números negativos son siempre menores que el cero, y entre ellos, cuanto más grande es el número sin el signo, más pequeño es el valor. Identifica los negativos: −8, −4, −1.
2
Ordena los negativos de menor a mayor: −8 < −4 < −1 (−8 es el más pequeño porque está más lejos del cero hacia la izquierda).
3
El cero va después de todos los negativos: −8 < −4 < −1 < 0.
4
Los positivos van al final de menor a mayor: 3 < 5.
Resultado: −8 < −4 < −1 < 0 < 3 < 5
2.
Calcula: (−6) + 4 − (−3) + (−5)
Resolución
1
Primero simplifica los signos dobles: −(−3) = +3 y +(−5) = −5. La expresión queda: −6 + 4 + 3 − 5.
2
Suma los positivos: 4 + 3 = 7.
3
Suma los negativos: −6 − 5 = −11.
4
Combina: 7 + (−11) = 7 − 11 = −4.
Resultado: −4
3.
Calcula: (−4) × 3 − (−2) × 5
Resolución
1
Primero las multiplicaciones (tienen prioridad): (−4) × 3 = −12.
2
Segunda multiplicación: (−2) × 5 = −10.
3
La expresión queda: −12 − (−10). Simplifica el signo doble: −12 + 10.
4
Calcula: −12 + 10 = −2.
Resultado: −2
4.
Calcula: (−24) ÷ (−6) + (−3) × 2
Resolución
1
Primero la división: (−24) ÷ (−6) = +4. Dos negativos divididos dan positivo.
2
Después la multiplicación: (−3) × 2 = −6.
3
Suma los resultados: 4 + (−6) = 4 − 6 = −2.
Resultado: −2
5.
¿Es 84 divisible entre 4? ¿Y entre 6? Justifica con los criterios de divisibilidad.
Resolución
1
Divisibilidad entre 4: un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras forman un número divisible entre 4. Las dos últimas cifras de 84 son 84. ¿84 ÷ 4 = 21? Sí, exacto. Sí es divisible entre 4.
2
Divisibilidad entre 6: un número es divisible entre 6 si lo es entre 2 y entre 3 a la vez.
3
¿Es divisible entre 2? Sí, termina en 4 (cifra par).
4
¿Es divisible entre 3? Suma de cifras: 8 + 4 = 12. Como 12 es divisible entre 3, el número también lo es. Sí es divisible entre 6.
84 es divisible entre 4 ✓ y entre 6 ✓
6.
Descompón en factores primos: 60 y 90.
Resolución
1
Descomposición de 60: divide siempre por el primo más pequeño posible. 60 ÷ 2 = 30 → 30 ÷ 2 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1.
2
Resultado: 60 = 2² × 3 × 5.
3
Descomposición de 90: 90 ÷ 2 = 45 → 45 ÷ 3 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1.
4
Resultado: 90 = 2 × 3² × 5.
60 = 2² × 3 × 5 | 90 = 2 × 3² × 5
7.
Calcula el MCD y el MCM de 12 y 18.
Resolución
1
Descompón: 12 = 2² × 3 18 = 2 × 3².
2
MCD = producto de los factores comunes con el menor exponente: factores comunes son 2 y 3. Menores exponentes: 2¹ y 3¹. MCD = 2 × 3 = 6.
3
MCM = producto de todos los factores (comunes y no comunes) con el mayor exponente: 2² y 3². MCM = 4 × 9 = 36.
MCD(12, 18) = 6 | MCM(12, 18) = 36
8.
En una fábrica se producen piezas en lotes de 12 o de 18. ¿Cuántas piezas es el mínimo que se puede producir exactamente con ambos lotes?
Aplica el MCM.
Resolución
1
Necesitamos el número mínimo divisible a la vez entre 12 y 18 → eso es el MCM.
2
Del ejercicio anterior ya sabemos: MCM(12, 18) = 36.
3
Comprobación: 36 ÷ 12 = 3 lotes ✓ y 36 ÷ 18 = 2 lotes ✓.
Mínimo: 36 piezas
2
Fracciones y decimales
9 ej.
1.
Simplifica al máximo: 24/36
Resolución
1
Para simplificar, divide numerador y denominador por su MCD.
2
Factores: 24 = 2³ × 3 36 = 2² × 3². MCD = 2² × 3 = 12.
3
Divide: 24 ÷ 12 = 2 y 36 ÷ 12 = 3.
24/36 = 2/3
2.
Ordena de menor a mayor: 3/4 2/3 5/6
Resolución
1
Busca el MCM de los denominadores 4, 3 y 6. MCM(4,3,6) = 12.
2
Convierte a denominador 12: 3/4 = 9/12 2/3 = 8/12 5/6 = 10/12.
3
Ordena los numeradores: 8 < 9 < 10, es decir 8/12 < 9/12 < 10/12.
2/3 < 3/4 < 5/6
3.
Calcula: 3/4 + 1/2
Resolución
1
Los denominadores son 4 y 2. MCM(4,2) = 4. Convertimos a denominador común.
2
3/4 ya tiene denominador 4. 1/2 = 2/4.
3
Suma: 3/4 + 2/4 = 5/4. Como numerador > denominador, es fracción impropia. Pasa a número mixto: 5/4 = 1 + 1/4 = 1¼.
3/4 + 1/2 = 5/4 (= 1,25)
4.
Calcula: 5/6 − 1/3
Resolución
1
MCM(6, 3) = 6. Denominador común: 6.
2
5/6 ya está. 1/3 = 2/6.
3
Resta: 5/6 − 2/6 = 3/6. Simplifica: 3/6 = 1/2.
5/6 − 1/3 = 1/2
5.
Calcula: 3/4 × 8
Resolución
1
Escribe el 8 como fracción: 8 = 8/1.
2
Multiplica numeradores y denominadores: (3 × 8) / (4 × 1) = 24/4.
3
Simplifica: 24 ÷ 4 = 6.
3/4 × 8 = 6
6.
Calcula: (2/3) ÷ 4
Resolución
1
Dividir por un número es multiplicar por su inverso. El inverso de 4 es 1/4.
2
(2/3) × (1/4) = (2×1)/(3×4) = 2/12.
3
Simplifica: 2/12 = 1/6.
(2/3) ÷ 4 = 1/6
7.
Pasa a fracción: 0,75 y 0,4
Resolución
1
0,75: tiene 2 decimales → denominador 100. 0,75 = 75/100. Simplifica dividiendo entre 25: 75/100 = 3/4.
2
0,4: tiene 1 decimal → denominador 10. 0,4 = 4/10. Simplifica dividiendo entre 2: 4/10 = 2/5.
0,75 = 3/4 | 0,4 = 2/5
8.
Pasa a decimal: 3/8 y 5/4
Resolución
1
Para pasar a decimal, divide el numerador entre el denominador.
2
3 ÷ 8 = 0,375.
3
5 ÷ 4 = 1,25.
3/8 = 0,375 | 5/4 = 1,25
9.
En un grupo de 30 alumnos, 2/5 son chicas. ¿Cuántas chicas hay?
Resolución
1
Calcular la fracción de un número: multiplica la fracción por el total.
2
(2/5) × 30 = (2 × 30) / 5 = 60 / 5 = 12.
Hay 12 chicas en el grupo
3
Potencias y raíces
8 ej.
1.
Calcula: 3⁴ 2⁵ 10³
Resolución
1
3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81.
2
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 4 × 2 = 16 × 2 = 32.
3
10³ = 10 × 10 × 10 = 1000. (Regla rápida: tantos ceros como indica el exponente.)
3⁴ = 81 | 2⁵ = 32 | 10³ = 1000
2.
Aplica la propiedad del producto: 2³ × 2⁴
Resolución
1
Cuando multiplicas potencias con la misma base, sumas los exponentes: aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ.
2
2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷.
3
Calcula: 2⁷ = 128.
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
3.
Aplica la propiedad del cociente: 3⁵ ÷ 3²
Resolución
1
Al dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes: aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ.
2
3⁵ ÷ 3² = 3^(5−2) = 3³.
3
Calcula: 3³ = 27.
3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27
4.
Simplifica: (2³)²
Resolución
1
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes: (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ.
2
(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶.
3
Calcula: 2⁶ = 64.
(2³)² = 2⁶ = 64
5.
Calcula: √144 √81 √400
Resolución
1
La raíz cuadrada pregunta: ¿qué número multiplicado por sí mismo da ese valor?
2
√144: ¿12 × 12 = 144? Sí → 12.
3
√81: ¿9 × 9 = 81? Sí → 9.
4
√400: ¿20 × 20 = 400? Sí → 20.
√144 = 12 | √81 = 9 | √400 = 20
6.
¿Cuál es el lado de un cuadrado cuya área es 196 cm²?
Resolución
1
El área de un cuadrado es lado². Si el área = 196, entonces lado = √196.
2
¿Cuánto es √196? Prueba: 14 × 14 = 196. ✓
El lado mide 14 cm
7.
Expresa como potencia de 10: 100 000 y 0,001
Resolución
1
100 000: cuenta los ceros → hay 5. Luego 100 000 = 10⁵.
2
0,001: es la milésima parte → 1/1000 = 1/10³ = 10⁻³. El exponente negativo indica que es menor que 1.
100 000 = 10⁵ | 0,001 = 10⁻³
8.
Calcula: 2³ + √25 − 10²
Resolución
1
Calcula cada parte por separado: 2³ = 8.
2
√25 = 5.
3
10² = 100.
4
Combina: 8 + 5 − 100 = 13 − 100 = −87.
2³ + √25 − 10² = −87
4
Expresiones algebraicas y polinomios
7 ej.
1.
Calcula el valor de 3x − 5 para x = 4
Resolución
1
Sustituye x por 4 en la expresión: 3(4) − 5.
2
Calcula: 12 − 5 = 7.
3x − 5 para x=4 → resultado: 7
2.
Calcula el valor de x² + 2x − 1 para x = −2
Resolución
1
Sustituye x por −2: (−2)² + 2(−2) − 1.
2
(−2)² = 4 (negativo al cuadrado = positivo).
3
2(−2) = −4.
4
Suma: 4 + (−4) − 1 = 4 − 4 − 1 = −1.
x² + 2x − 1 para x=−2 → resultado: −1
3.
Suma: (2x² + 3x − 1) + (x² − x + 4)
Resolución
1
Agrupa los términos semejantes (misma letra y mismo exponente).
2
Términos en x²: 2x² + x² = 3x².
3
Términos en x: 3x + (−x) = 2x.
4
Términos independientes: −1 + 4 = 3.
(2x² + 3x − 1) + (x² − x + 4) = 3x² + 2x + 3
4.
Resta: (5x² − 2x + 3) − (2x² + x − 1)
Resolución
1
El signo menos delante del paréntesis cambia el signo de todos los términos de dentro: −(2x² + x − 1) = −2x² − x + 1.
2
Ahora suma: (5x² − 2x + 3) + (−2x² − x + 1).
3
x²: 5x² − 2x² = 3x² · x: −2x − x = −3x · independientes: 3 + 1 = 4.
(5x² − 2x + 3) − (2x² + x − 1) = 3x² − 3x + 4
5.
Multiplica: 3x(2x − 5)
Resolución
1
Aplica la propiedad distributiva: el factor de fuera multiplica a cada término de dentro.
2
3x × 2x = 6x².
3
3x × (−5) = −15x.
3x(2x − 5) = 6x² − 15x
6.
Saca factor común: 6x² − 9x
Resolución
1
Busca qué tienen en común los dos términos. Números: MCD(6,9) = 3. Letras: ambos tienen x (el de menor grado es x¹).
2
El factor común es 3x.
3
Divide cada término entre 3x: 6x² ÷ 3x = 2x y 9x ÷ 3x = 3.
4
Escribe el resultado: 3x(2x − 3). Comprueba multiplicando: 3x · 2x − 3x · 3 = 6x² − 9x ✓.
6x² − 9x = 3x(2x − 3)
7.
Identifica el grado y los coeficientes de: 4x³ − 2x + 7
Resolución
1
Grado = el exponente más alto que aparece. El término 4x³ tiene exponente 3. Grado 3.
2
Coeficientes: son los números que acompañan a cada potencia de x.
3
Término en x³: coeficiente 4. Término en x²: no aparece, coeficiente 0. Término en x: coeficiente −2. Término independiente: 7.
Grado 3 · Coeficientes: 4, 0, −2, 7
5
Ecuaciones de primer grado
7 ej.
1.
Resuelve: 2x + 5 = 13
Resolución
1
Pasa el 5 al otro lado cambiando de signo: 2x = 13 − 5 = 8.
2
Despeja x dividiendo entre 2: x = 8 ÷ 2 = 4.
3
Comprobación: 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ✓.
x = 4
2.
Resuelve: 3x − 4 = 2x + 6
Resolución
1
Pasa los términos con x a la izquierda y los números a la derecha: 3x − 2x = 6 + 4.
2
Simplifica: x = 10.
3
Comprobación: 3(10) − 4 = 26 y 2(10) + 6 = 26 ✓.
x = 10
3.
Resuelve: 5(x − 2) = 3x + 4
Resolución
1
Aplica la propiedad distributiva en el primer miembro: 5x − 10 = 3x + 4.
2
Agrupa: 5x − 3x = 4 + 10 → 2x = 14.
3
Despeja: x = 14 ÷ 2 = 7.
4
Comprobación: 5(7−2) = 5×5 = 25 y 3(7)+4 = 21+4 = 25 ✓.
x = 7
4.
Resuelve: 2(x + 3) − 4 = x + 8
Resolución
1
Distribuye: 2x + 6 − 4 = x + 8 → 2x + 2 = x + 8.
2
Agrupa: 2x − x = 8 − 2 → x = 6.
3
Comprobación: 2(6+3)−4 = 18−4 = 14 y 6+8 = 14 ✓.
x = 6
5.
Un número aumentado en 7 es igual a 20. ¿Cuál es el número?
Resolución
1
Llamamos al número desconocido x. "Un número aumentado en 7" → x + 7.
2
La ecuación es: x + 7 = 20.
3
Despeja: x = 20 − 7 = 13.
El número es 13
6.
Dos amigos tienen 36 € en total. Uno tiene el doble que el otro. ¿Cuánto tiene cada uno?
Resolución
1
Llama x al dinero del primero. El segundo tiene 2x.
2
Ecuación: x + 2x = 36 → 3x = 36.
3
x = 36 ÷ 3 = 12. El segundo tiene 2 × 12 = 24.
Uno tiene 12 € y el otro 24 €
7.
La edad de Ana es 5 años más que la de Luis. Entre los dos suman 25 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Resolución
1
Llama x a la edad de Luis. Ana tiene x + 5.
2
Ecuación: x + (x + 5) = 25 → 2x + 5 = 25.
3
2x = 20 → x = 10. Luis tiene 10 años y Ana tiene 10 + 5 = 15.
Luis: 10 años · Ana: 15 años
6
Funciones
6 ej.
1.
Dada f(x) = 2x − 3, calcula f(0), f(2) y f(−1)
Resolución
1
Sustituye x por cada valor en 2x − 3.
2
f(0) = 2(0) − 3 = 0 − 3 = −3.
3
f(2) = 2(2) − 3 = 4 − 3 = 1.
4
f(−1) = 2(−1) − 3 = −2 − 3 = −5.
f(0) = −3 · f(2) = 1 · f(−1) = −5
2.
Completa la tabla de valores para y = x + 4, con x ∈ {−2, 0, 1, 3}
Resolución
1
Para cada valor de x, calcula y = x + 4.
2
x = −2 → y = −2 + 4 = 2 → punto (−2, 2).
3
x = 0 → y = 0 + 4 = 4 → punto (0, 4).
4
x = 1 → y = 1 + 4 = 5 → punto (1, 5).
5
x = 3 → y = 3 + 4 = 7 → punto (3, 7).
Puntos: (−2,2) · (0,4) · (1,5) · (3,7)
3.
Representa en un eje de coordenadas los puntos: A(2,3) · B(−1,4) · C(0,−2) · D(3,0)
Resolución
1
En el par (x, y), el primer número indica el desplazamiento horizontal (eje X) y el segundo el vertical (eje Y).
2
A(2, 3): 2 a la derecha, 3 arriba.
3
B(−1, 4): 1 a la izquierda, 4 arriba.
4
C(0, −2): en el eje Y, 2 hacia abajo.
5
D(3, 0): en el eje X, 3 a la derecha.
Cada punto queda marcado con sus coordenadas en los ejes
4.
¿Qué tipo de función es y = 2x − 1? ¿Cuánto vale la pendiente y la ordenada en el origen?
Resolución
1
La forma general de una función afín es y = mx + b, donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen.
2
Comparando y = 2x − 1 con la forma general: m = 2 y b = −1.
3
Como b ≠ 0, es una función afín. Si fuera b = 0 sería lineal (proporcional).
Función afín · pendiente m = 2 · ordenada en el origen b = −1
5.
Una función lineal pasa por (0, 0) y (3, 6). ¿Cuál es su expresión?
Resolución
1
Una función lineal tiene la forma y = mx (pasa por el origen).
2
Calcula la pendiente con los dos puntos: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (6 − 0) / (3 − 0) = 6/3 = 2.
3
La función es y = 2x. Comprueba: para x=3 → y=6 ✓.
y = 2x
6.
Una función afín tiene pendiente 2 y pasa por (0, −4). Escribe su ecuación y elabora una tabla con 4 valores.
Resolución
1
m = 2 y el punto (0, −4) indica que b = −4. Ecuación: y = 2x − 4.
2
Tabla: x=0 → y=−4 · x=1 → y=−2 · x=2 → y=0 · x=3 → y=2.
y = 2x − 4 · Puntos: (0,−4)(1,−2)(2,0)(3,2)
7
Ecuaciones de segundo grado
7 ej.
1.
Resuelve: x² − 9 = 0
Resolución
1
Es una ecuación incompleta (sin término en x). Despeja x²: x² = 9.
2
Aplica la raíz cuadrada en ambos miembros: x = ±√9 = ±3.
3
El signo ± indica que hay dos soluciones: una positiva y una negativa.
x = 3 · x = −3
2.
Resuelve: x² − 5x + 6 = 0
Resolución
1
Aplica la fórmula general: x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a. Aquí a=1, b=−5, c=6.
2
Discriminante: b²−4ac = 25 − 24 = 1.
3
x = [5 ± √1] / 2 = [5 ± 1] / 2.
4
x₁ = (5+1)/2 = 3 x₂ = (5−1)/2 = 2.
x = 3 · x = 2
3.
Resuelve: x² − 7x + 10 = 0
Resolución
1
a=1, b=−7, c=10. Discriminante: (−7)²−4(1)(10) = 49−40 = 9.
2
x = [7 ± √9] / 2 = [7 ± 3] / 2.
3
x₁ = (7+3)/2 = 5 x₂ = (7−3)/2 = 2.
x = 5 · x = 2
4.
Resuelve: x² + 4x + 4 = 0
Resolución
1
a=1, b=4, c=4. Discriminante: 4²−4(1)(4) = 16−16 = 0.
2
Cuando el discriminante = 0, hay una única solución (doble): x = −b/2a = −4/2 = −2.
x = −2 (solución doble)
5.
Resuelve: 2x² − 8 = 0
Resolución
1
Ecuación incompleta (sin término en x). Despeja: 2x² = 8 → x² = 4.
2
x = ±√4 = ±2.
x = 2 · x = −2
6.
El cuadrado de un número menos ese número es igual a 12. Plantea y resuelve la ecuación.
Resolución
1
Llama x al número. "El cuadrado de un número" → x². "Menos ese número" → −x. Ecuación: x² − x = 12.
2
Pasa el 12: x² − x − 12 = 0. a=1, b=−1, c=−12.
3
Discriminante: (−1)²−4(1)(−12) = 1+48 = 49.
4
x = [1 ± 7] / 2 → x₁ = 4 y x₂ = −3.
x = 4 o x = −3 (ambas válidas)
7.
El área de un rectángulo es 24 cm². Su largo mide 2 cm más que su ancho. Calcula las dimensiones.
Plantea una ecuación de 2.º grado.
Resolución
1
Llama x al ancho. El largo es x + 2.
2
Área = ancho × largo: x(x + 2) = 24 → x² + 2x − 24 = 0.
3
a=1, b=2, c=−24. Discriminante: 4 + 96 = 100.
4
x = (−2 ± 10) / 2 → x₁ = 4 y x₂ = −6 (negativo, no válido).
5
Ancho = 4 cm, largo = 4 + 2 = 6 cm. Comprobación: 4 × 6 = 24 ✓.
Ancho = 4 cm · Largo = 6 cm
8
Sistemas de ecuaciones
6 ej.
1.
Resuelve por sustitución:
y = 2x
x + y = 9
y = 2x
x + y = 9
Resolución
1
La primera ecuación ya nos da y = 2x. Sustituye esa y en la segunda ecuación.
2
x + (2x) = 9 → 3x = 9 → x = 3.
3
Ahora calcula y: y = 2x = 2(3) = 6.
4
Comprobación en la 2.ª: 3 + 6 = 9 ✓.
x = 3 · y = 6
2.
Resuelve por sustitución:
x = y + 3
2x − y = 8
x = y + 3
2x − y = 8
Resolución
1
Sustituye x = y + 3 en la segunda ecuación: 2(y+3) − y = 8.
2
Distribuye: 2y + 6 − y = 8 → y + 6 = 8 → y = 2.
3
Calcula x: x = y + 3 = 2 + 3 = 5.
x = 5 · y = 2
3.
Resuelve por reducción:
2x + y = 10
x − y = 2
2x + y = 10
x − y = 2
Resolución
1
Suma las dos ecuaciones para eliminar la y: (2x + y) + (x − y) = 10 + 2.
2
3x = 12 → x = 4.
3
Sustituye en la 1.ª: 2(4) + y = 10 → 8 + y = 10 → y = 2.
x = 4 · y = 2
4.
Resuelve por reducción:
3x + 2y = 12
x + 2y = 8
3x + 2y = 12
x + 2y = 8
Resolución
1
Los coeficientes de y son iguales en ambas ecuaciones. Resta la 2.ª a la 1.ª para eliminar y: (3x+2y)−(x+2y) = 12−8.
2
2x = 4 → x = 2.
3
Sustituye en la 2.ª: 2 + 2y = 8 → 2y = 6 → y = 3.
x = 2 · y = 3
5.
Dos números suman 20 y su diferencia es 4. Encuéntralos.
Resolución
1
Llama x e y a los dos números. Sistema: x + y = 20 y x − y = 4.
2
Suma las dos ecuaciones: 2x = 24 → x = 12.
3
Sustituye: 12 + y = 20 → y = 8.
Los números son 12 y 8
6.
Un cuaderno cuesta 1 € más que un bolígrafo. Si compras 2 cuadernos y 3 bolígrafos pagas 10 €. ¿Cuánto cuesta cada uno?
Resolución
1
Llama c al precio del cuaderno y b al del bolígrafo. Sistema: c = b + 1 y 2c + 3b = 10.
2
Sustituye la primera en la segunda: 2(b+1) + 3b = 10 → 2b + 2 + 3b = 10 → 5b = 8 → b = 1,60 €.
3
c = 1,60 + 1 = 2,60 €. Comprobación: 2(2,60) + 3(1,60) = 5,20 + 4,80 = 10 ✓.
Cuaderno: 2,60 € · Bolígrafo: 1,60 €
9
Proporcionalidad · Teorema de Tales
6 ej.
1.
¿Son proporcionales las razones 3/6 y 5/10? ¿Y 2/5 y 4/9?
Resolución
1
Dos razones son proporcionales si sus productos cruzados son iguales (o si simplificadas dan la misma fracción).
2
3/6 = 0,5 y 5/10 = 0,5. Son iguales → sí son proporcionales.
3
2/5 = 0,4 y 4/9 ≈ 0,444. Son distintas → no son proporcionales.
3/6 y 5/10 → SÍ · 2/5 y 4/9 → NO
2.
Si 4 kg de manzanas cuestan 6 €, ¿cuánto costarán 10 kg?
Resolución
1
Es proporcionalidad directa: a más kg, más precio. Plantea la regla de tres.
2
4 kg → 6 € · 10 kg → x €
3
x = (10 × 6) / 4 = 60 / 4 = 15.
10 kg costarán 15 €
3.
Un coche recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos km recorrerá en 5 horas a la misma velocidad?
Resolución
1
Proporcionalidad directa: más horas → más km. Regla de tres.
2
3 h → 240 km · 5 h → x km
3
x = (5 × 240) / 3 = 1200 / 3 = 400.
Recorrerá 400 km
4.
8 obreros tardan 6 días en hacer un trabajo. ¿Cuántos días tardarán 12 obreros?
Proporcionalidad inversa.
Resolución
1
Es proporcionalidad inversa: más obreros → menos días. En la regla de tres inversa, se multiplican en cruz.
2
8 obreros → 6 días · 12 obreros → x días.
3
x = (8 × 6) / 12 = 48 / 12 = 4.
12 obreros tardarán 4 días
5.
En un mapa, 1 cm representa 5 km. Si dos ciudades están a 3,5 cm en el mapa, ¿a cuántos km están en realidad?
Resolución
1
Escala 1:500 000 → proporcionalidad directa. Regla de tres.
2
1 cm → 5 km · 3,5 cm → x km.
3
x = 3,5 × 5 = 17,5 km.
Las ciudades están a 17,5 km
6.
Aplica el Teorema de Tales: en dos rectas cortadas por paralelas, los segmentos son 4, 6 y x, 9. Calcula x.
Resolución
1
El Teorema de Tales dice que los segmentos que determinan las paralelas sobre las dos rectas son proporcionales: 4/6 = x/9.
2
Despeja x multiplicando en cruz: x = (4 × 9) / 6 = 36 / 6 = 6.
x = 6
10
Geometría
7 ej.
1.
Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de 8 cm × 5 cm.
Resolución
1
Área del rectángulo = base × altura = 8 × 5 = 40 cm².
2
Perímetro = suma de todos los lados = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm.
Área = 40 cm² · Perímetro = 26 cm
2.
Calcula el área de un triángulo de base 10 cm y altura 6 cm.
Resolución
1
Área del triángulo = (base × altura) / 2.
2
(10 × 6) / 2 = 60 / 2 = 30 cm².
Área = 30 cm²
3.
Calcula el área de un trapecio con bases 8 cm y 12 cm, y altura 5 cm.
Resolución
1
Área del trapecio = [(base mayor + base menor) / 2] × altura.
2
[(12 + 8) / 2] × 5 = [20/2] × 5 = 10 × 5 = 50 cm².
Área = 50 cm²
4.
Calcula el área y la circunferencia de un círculo de radio 7 cm. (π ≈ 3,14)
Resolución
1
Área del círculo = π × r² = 3,14 × 7² = 3,14 × 49 = 153,86 cm².
2
Circunferencia (longitud del borde) = 2 × π × r = 2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm.
Área ≈ 153,86 cm² · Circunferencia ≈ 43,96 cm
5.
Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 6 cm y 8 cm.
Resolución
1
Aplica el Teorema de Pitágoras: hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂².
2
h² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
3
h = √100 = 10 cm.
Hipotenusa = 10 cm
6.
Una habitación rectangular mide 4 m × 5 m. Calcula los metros de rodapié necesarios y los m² de suelo.
Resolución
1
El rodapié recorre todo el borde → Perímetro = 2 × (4+5) = 18 m.
2
El suelo es el interior → Área = 4 × 5 = 20 m².
Rodapié: 18 m · Suelo: 20 m²
7.
Calcula el volumen de un prisma rectangular de 5 × 4 × 3 cm.
Resolución
1
Volumen del prisma rectangular = largo × ancho × alto.
2
V = 5 × 4 × 3 = 60 cm³.
Volumen = 60 cm³
11
Estadística
6 ej.
1.
Las notas de 8 alumnos son: 5, 7, 6, 8, 5, 9, 7, 7. Calcula la media aritmética.
Resolución
1
Media = suma de todos los datos / número de datos.
2
Suma: 5+7+6+8+5+9+7+7 = 54.
3
Divide: 54 / 8 = 6,75.
Media = 6,75
2.
Con los mismos datos (5, 7, 6, 8, 5, 9, 7, 7), calcula la mediana y la moda.
Resolución
1
Mediana: ordena los datos de menor a mayor: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
2
Con 8 datos (número par), la mediana es la media de los dos centrales (posiciones 4 y 5): (7 + 7) / 2 = 7.
3
Moda: el valor que más se repite. El 7 aparece 3 veces, más que ningún otro.
Mediana = 7 · Moda = 7
3.
Completa una tabla de frecuencias (absoluta y relativa) para: 3, 5, 3, 7, 5, 3, 7, 5, 7, 7
Resolución
1
Cuenta cuántas veces aparece cada valor. Total de datos: 10.
2
Valor 3: aparece 3 veces → frecuencia absoluta = 3, relativa = 3/10 = 0,3 (30%).
3
Valor 5: aparece 3 veces → f.abs = 3, f.rel = 0,3 (30%).
4
Valor 7: aparece 4 veces → f.abs = 4, f.rel = 0,4 (40%).
5
Comprobación: 3+3+4 = 10 ✓ y 0,3+0,3+0,4 = 1 ✓.
3→3(30%) · 5→3(30%) · 7→4(40%) · Total=10
4.
Indica el rango (recorrido) de la serie: 12, 8, 20, 15, 9, 18
Resolución
1
Rango = valor máximo − valor mínimo. Indica cuánto se dispersan los datos.
2
Máximo: 20. Mínimo: 8.
3
Rango = 20 − 8 = 12.
Rango = 12
5.
En una clase de 25 alumnos, 10 prefieren fútbol, 8 baloncesto y 7 natación. Calcula el porcentaje de cada opción.
Resolución
1
Porcentaje = (frecuencia / total) × 100.
2
Fútbol: (10/25) × 100 = 40%.
3
Baloncesto: (8/25) × 100 = 32%.
4
Natación: (7/25) × 100 = 28%.
5
Comprobación: 40 + 32 + 28 = 100% ✓.
Fútbol 40% · Baloncesto 32% · Natación 28%
6.
Un diagrama de barras recoge: lunes 5, martes 8, miércoles 3, jueves 6, viernes 10. ¿Cuántas personas respondieron en total? ¿Qué día fue el más frecuente?
Resolución
1
Total = suma de todos los valores: 5 + 8 + 3 + 6 + 10 = 32 personas.
2
El día más frecuente es el que tiene la barra más alta → el valor mayor es 10, que corresponde al viernes.
Total: 32 personas · Día más frecuente: viernes